Le mille en quatre minutes

Quand une machine repousse une limite que nous croyions immuable, l’indignation est réelle, la peur aussi, mais ni l’une ni l’autre ne dit tout. Le plus beau, c’est ce que les gens font le lendemain matin. Ce mois-ci, en mathématiques, ils se sont mis à courir.

Le 6 octobre, OpenAI a publié d’un seul coup 722 articles de mathématiques écrits par une machine¹, regroupés en 372 familles, à partir d’environ 4 000 problèmes posés à un modèle qu’elle n’a pas encore rendu public. Trois ont été retirés dès le lendemain à cause d’une erreur de signe, ce qui est déjà, en soi, une petite leçon sur la vitesse. Sur sa page, OpenAI explique ce qui l’a amenée à se tourner vers des problèmes ouverts : elle a élargi ses tests « une fois les performances arrivées à saturation sur nos évaluations mathématiques existantes ». En clair, les anciens examens étaient devenus trop faciles.

Deux vidéos ont saisi l’écart entre les réactions. Deux jours après la publication, ColdFusion, une chaîne de vulgarisation scientifique très suivie, est revenue sur l’affirmation faite par OpenAI en septembre au sujet des équations de l’écoulement des fluides, et a décrit l’état d’esprit des mathématiciens : « le sentiment général semblait être la colère ». Trois jours plus tard, la chaîne AI Search a présenté la publication d’octobre comme « le plus grand jour de l’histoire des mathématiques ». Le travail d’une seule entreprise, et deux salles qui s’entendaient à peine.

Les deux salles n’ont pas tort. En septembre, 25 médaillés Fields ont lancé une déclaration², qui compte 28 signataires à ce jour, pour avertir que « les objectifs des entreprises d’IA et les objectifs de la communauté mathématique sont gravement désalignés ». Lue de près, pourtant, cette lettre indignée s’ouvre sur une concession que la plupart des fervents partisans de l’IA envieraient : les modèles ont progressé « au point de pouvoir résoudre de grands problèmes ouverts dans de nombreux domaines des mathématiques ». Ce qui inquiète les signataires, c’est de savoir si un problème résolu fait encore avancer la compréhension, et à qui revient le mérite des idées qui le sous-tendent. C’est une inquiétude sérieuse. Elle est aussi à des lieues du refrain « les machines en sont incapables ». Nous sommes passés de « en sont-elles capables ? » à « et maintenant ? », une question bien plus intéressante à habiter.

Iffley Road

Le 6 mai 1954, sur une piste en cendrée, à Oxford, Roger Bannister a couru le mille en 3 minutes 59,4 secondes. Quarante-six jours plus tard, John Landy l’a couru plus vite en Finlande. La légende fait des quatre minutes un mur physiologique, et de Bannister l’homme qui a ouvert une brèche où s’est engouffré un flot de coureurs. La légende est en grande partie fausse, et c’est ce qu’elle a de plus utile. L’entraîneur de course à pied Steve Magness³ a fait le compte : dix hommes sous les quatre minutes en deux ans et demi, une progression régulière plutôt qu’un barrage qui cède. Le record tenait depuis 1945, pendant que le sport lui-même se transformait.

Ce que Bannister a fait tomber, c’est un chiffre que l’on avait commencé à tenir pour une limite. Une fois qu’une limite a été franchie au vu de tous, personne ne peut plus la tenir pour telle. La première semaine d’octobre a offert aux mathématiques leur propre version de cette histoire.

Parmi les articles d’OpenAI figurait une affirmation portant sur l’une des plus vieilles questions de l’informatique : à quelle vitesse un ordinateur peut-il multiplier deux très grands nombres ? Depuis 1971, l’hypothèse de travail voulait que le plancher théorique soit de n log n étapes. Le modèle affirmait abaisser d’une infime fraction l’exposant de ce log n : une part sur 2 à la puissance 182. Il s’agit d’une borne théorique, pas d’un chronomètre, et l’affirmation n’a pas encore été évaluée par des pairs.

Quatre heures et demie après l’apparition du dépôt d’OpenAI, Douglas Colkitt publiait le sien⁴, qui s’appuyait sur cette affirmation et multipliait cette infime fraction par environ 2 à la puissance 75. Dès le lendemain soir, il avait encore amélioré son résultat à deux reprises. D’autres l’ont rejoint. Un instantané pris le 13 octobre montrait 407 commits sous au moins 25 noms d’auteur, et la borne avait été repoussée plus loin que le premier pas de la machine, d’un écart qu’aucun gros titre ne pourrait contenir. Certains de ces commits reconnaissent la contribution des outils d’IA avec lesquels leurs auteurs ont travaillé. Chacune de ces bornes améliorées repose sur la preuve d’origine, si bien que les arbitres gardent le dernier mot. Ce que nous pouvons déjà célébrer, c’est la vitesse à laquelle des gens ont trouvé de nouvelles idées qui méritaient d’être mises à l’épreuve.

Trop à manger

Terence Tao⁵, l’un des mathématiciens vivants les plus respectés, a décrit le nouveau problème en termes culinaires dans une vidéo publiée en septembre : « nous vivons maintenant ce qu’on pourrait appeler une indigestion de preuves ». Les résultats arrivent plus vite que quiconque ne peut les lire. Puis il a fait de cette inquiétude un festin : « C’est un bon problème à avoir […] plus de nourriture qu’on ne peut en manger plutôt que pas assez à manger. Mais ça reste un problème. »

Il a aussi rapporté quelque chose de mieux que l’abondance. Ce printemps, un modèle a réfuté une vieille conjecture sur les distances entre des points ; des problèmes voisins « ont maintenant aussi été résolus par des humains qui ont adapté la technique de l’IA. J’ai trouvé ça plutôt passionnant. » La machine a proposé une méthode, et des gens ont trouvé d’autres choses à en faire.

Andrew Granville, de l’Université de Montréal, en avait expliqué la raison en 2023. Dans un texte sur la preuve au temps des machines⁶, il notait que les lecteurs humains d’une preuve font plus que la vérifier ; ils « peuvent adapter les idées apprises à d’autres questions ». L’exemple de Tao montre cette vieille habitude à l’œuvre sur une matière nouvelle, et le dépôt de Colkitt, la même habitude à la vitesse de GitHub.

Qui prend le relais

Le physicien Jonathan Gorard a observé, prudemment et chez ses propres collègues, que les premiers à adopter ces outils étaient les plus jeunes étudiants aux cycles supérieurs et les chercheurs les plus chevronnés, tandis que les personnes en milieu de carrière étaient les plus enclines à les bouder. Il a lui-même parlé d’une tendance faible, et il vaut tout de même la peine de nous demander où notre propre réputation rend un outil utile plus difficile à essayer.

Voici donc l’invitation. Cette semaine, confions à une machine ce problème que, dans notre travail, tout le monde tient pour immuable : le rapport qui prend toujours une semaine, ou l’analyse que personne n’entreprend. Puis vérifions ce que la machine nous rend en le confrontant aux documents d’origine, et, avant midi, bâtissons sur tout ce qui tient.